In der Mathematik ist die Logarithmusfunktion (griechisch: logos = Verhältnis, arithmos = Zahl), neben der Wurzelfunktion eine von zwei Umkehrfunktionen des Potenzierens. Der Logarithmus als Ergebnis dieser Funktion ist wie folgt definiert.

Für a > 0, a ≠ 1 gilt: Wenn y = ax dann ist x = loga(y)

Lies: x ist der Logarithmus von y zur Basis a.

· a wird als Basis oder Grundzahl bezeichnet.

· y heißt Numerus.

· x ist der Logarithmus.

Der Logarithmus (zur Basis a) einer Zahl y ist also diejenige Zahl x, mit der man die Basis a potenzieren muss, um die Zahl y zu erhalten. Der Logarithmus ist also ein Exponent. Im Sprachgebrauch wird das Wort Logarithmus häufig ungenau im Sinne von Logarithmusfunktion (Formelzeichen "log") verwendet. Präzise gesprochen ist der Logarithmus jedoch lediglich das Ergebnis der Logarithmusfunktion. Der oben angegebenen Definition entnimmt man, dass es verschiedene Logarithmusfunktionen gibt, die sich durch ihre Basis a unterscheiden. Die Menge aller Logarithmen zur einer konkreten Basis a nennt man das Logarithmensystem zur Basis a. Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und ½.

Die Geschichte der Logarithmen

Unabhängig voneinander entwickelten der Schweitzer Jost Bürgi (1552-1632) und der Schotte Lord John Napier (1550-1617) zwischen 1603 und 1614 die Logarithmen. Da den Logarithmen die zum Rechnen benötigte Basis fehlte, entwickelte Henry Briggs (1556-1636), renommierter Professor der Oxford University und Freund Lord Napiers, die dekadischen Logarithmen (10-er Basis). Der Engländer Edmund Gunter (1581-1626) erfand 1624 die Gunter-Skala. Diese bediente sich zum Rechnen eines Stechzirkels und basierte auf einer Logarithmentafel (ein Lineal aus Buchsbaumholz von ca. 60 cm Länge (2 feet) und ca. 5 cm Breite (2 engl. Zoll) mit einseitig abgeschrägter Kante) für Sinus und Tangens. Den entscheidenden Fortschritt brachte der Engländer William Oughtred (1575-1660),der anstelle des ungenauen und unbequemen Stechzirkel eine zweite kongruente, verschiebbare Skala und damit den Rechenstab entwickelte. Robert Bissaker baute 1654 einen Rechenschieber mit beweglichen Zungen, die in einem Stabkörper liefen, den Vorläufer des späteren Einseiten-Rechenstabs. An den Enden ist der Stabkörper durch Messinghalterungen verbunden; das Modell hatte 19 Skalen, die sich von Gunters logarithmischen Skalen herleiten. Seth Patridge (1603-1686) wird als Erfinder eines weiteren Modells genannt (1657), das aus drei gleichen Holzstreifen und einem Schieber (Zunge) besteht. Patridges Erfindung war der Urtyp des später entwickelten Doppelseitenrechenstabs. Im England der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts hat sich der Rechenstab bereits durchgesetzt und wurden in größeren Mengen gefertigt. Nach wie vor ist der immer noch fehlende Läufer ein großer Nachteil. Der sich daraus ergebende Zwang zu möglichst vielen aneinander gleitenden Skalen führt zu Konstruktion mit 2, 3 und sogar 4 Zungen. Ca. 1775 wird von John Robertson, Professor für Mathematik an der Royal Academy in Porthmouth, bereits ein mechanischer Läufer vorgestellt, jedoch nicht umgesetzt. Erst um 1850 stellt Amedie Mannheim (1831-1906) ein neues Skalensystem vor, das die Idee des Läufers wieder aufgriff und eine voll funktionierende und lange Zeit benutzte Variante darstellte. Bekannt wurde dieses System unter dem Namen seines Entwicklers: Mannheim. Dieser Grundskalenaufbau (A!B und C!D) bleibt Vorbild aller weiteren Entwicklungen von Skalensystemen bis zum Ende der Rechenschieber - Ära! 1902 stellte der Erfurter Ingenieur Max Rietz aus den Grund - und Quadratteilungen, der Kubus - und Logarithmenteilung auf der Stabvorderseite und den Winkelfunktionen auf der Zungenrückseite einen erweiterten Typ vor: das System Rietz!

Wie rechnet man mit Logarithmen?

Logarithmen von Produkten

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur Verfügung:

loga(x·y) = logax + logay

Oder allgemeiner:

loga(x1 · x2 · ... · xn) = logax1 + logax2 + ... + logaxn

Ein wichtiger Sonderfall ist:

loga(xn) = n · logax

Logarithmen von Quotienten

Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall angegeben:

loga(x/y) = logax - logay